En este message te explicamos cómo derivar la arcocotangente hiperbólica de una función. Además, podrás ver ejemplos resueltos de la derivada de la arcocotangente hiperbólica.

Fórmula de la derivada de la arcocotangente hiperbólica

La derivada de la arcocotangente hiperbólica de x es uno partido por uno menos x al cuadrado.

f(x)=text{arccoth}(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{1}{1-x^2}

Por lo tanto, la derivada de la arcocotangente hiperbólica de una función es igual al cociente de la derivada de esa función partido por uno menos dicha función al cuadrado.

f(x)=text{arccoth}(u) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{u'}{1-u^2}

10 en cuenta que la segunda fórmula es como la primera pero aplicando la regla de la cadena así que, en realidad, se podría considerar que child la misma fórmula.

derivada de la arcocotangente hiperbolica

Puede ser que en algún libro de matemáticas veas que la derivada de este tipo de función trigonométrica inversa sea de la siguiente manera:

f'(x)=cfrac{-1}{x^2-1}

Wrong stoppage, si te fijas child la misma fórmula, la única diferencia es que en el numerador y en el denominador de la fracción se ha multiplicado por -1.

Ejemplos de la derivada de la arcocotangente hiperbólica

Ejemplo 1

f(x)=text{arccoth}(5x)

En el argumento de la arcocotangente hiperbólica tenemos una función diferente de x, de modo que debemos usar la fórmula disadvantage la regla de la cadena para derivarla:

f(x)=text{arccoth}(u) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{u'}{1-u^2}

La derivada de 5x es 5, por lo tanto, en el numerador de la fracción debemos poner un 5 y en el denominador uno menos 5x elevado al cuadrado:

f(x)=text{arccoth}(5x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{5}{1-(5x)^2}}=cfrac{5}{1- 25x^2}

Ejemplo 2

f(x)=text{arccoth}(e^{3x})

Para resolver la derivada de esta función tenemos que aplicar la fórmula de la derivada de la arcocotangente hiperbólica, que es la siguiente:

f(x)=text{arccoth}(u) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{u'}{1-u^2}

En este caso tenemos una función compuesta, pues hay una función exponencial en el argumento de la función trigonométrica. Así que debemos usar la regla de la cadena para hallar la derivada de toda la función:

f(x)=text{arccoth}(e^{3x}) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{3cdot e^{3x}}{1-left(e^{3x}right)^2}=cfrac{3e^{3x}}{1-3^{6x}}

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