Aquí te explicamos cómo derivar todos los tipos de funciones. Encontrarás las fórmulas de todas las derivadas junto disadvantage ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso de derivadas.

formulas de las derivadas

¿ Qué child las derivadas?

Las derivadas child reglas matemáticas que sirven para estudiar las funciones. En specific, la derivada de una función en un punto es el resultado de un límite e indica el comportamiento de la función en ese punto.

La derivada de una función se expresa disadvantage el signo prima , es decir, la función f'( x) es la derivada de la función f( x) .

Geométricamente, el significado de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

significado de las derivadas

La definición matemática de la derivada de una función es la siguiente:

displaystyle f'(x)=lim_{h to 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Transgression stoppage, la derivada de una función no se suele calcular utilizando la fórmula former, sino que se aplican reglas de derivación según el tipo de función que sea. A continuación se explican todas las fórmulas de derivación.

Fórmulas de las derivadas

Vista la definición de las derivadas, vamos a ver cómo se hacen explicando cada tipo de derivada disadvantage un ejemplo. El objetivo de este message es que entiendas bien el concepto de las derivadas, por lo que si al last tienes dudas de cómo se deriva una función puedes preguntarnos en los comentarios.

Derivada de una constante

La derivada de una constante siempre es igual a cero, independientemente del valiance de la constante.

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=2mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      f(x)=k quad color{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=0 end{empheq}

Por lo tanto, para hallar la derivada de una función constante no es necesario hacer ningún cálculo, simplemente la derivada es nula.

Fíjate en los siguientes ejemplos resueltos de derivadas de constantes:

begin{array}{c}f(x)=3 qquad longrightarrowqquad f'(x)=0\[3ex]g(x)=-5 qquad longrightarrowqquad g'(x)=0\[3ex]h(x)=291 qquad longrightarrowqquad h'(x)=0end{array}

Derivada de una función lineal

La derivada de una función lineal es el coeficiente del término de guide grado, es decir, la derivada de una función lineal f( x)= Ax+ B es igual a A

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=2mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      f(x)=Ax+Bquadcolor{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=A end{empheq}

Fíjate en los siguientes ejemplos cómo se han derivado este tipo de funciones:

begin{array}{c}f(x)=3x-1quadlongrightarrowquad f'(x)=3\[3ex]f(x)=5xquadlongrightarrowquad f'(x)=5\[3ex] f(x)=-2x+9quadlongrightarrowquad f'(x)=-2end{array}

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia, o función potencial, es el producto del exponente de la potencia por la base elevada al exponente menos 1.

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=2mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      f(x)=x^k quadcolor{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=kcdot x^{k-1} end{empheq}

Por lo tanto, para derivar una potencia solamente tenemos que multiplicar la función por el exponente y restarle una unidad al exponente.

Por ejemplo, la derivada de la potencia x elevada al cubo es:

f(x)=x^3 quadcolor{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=3cdot x^{3-1}=3x^2

Puedes practicar de hacer ejercicios (y más difíciles) de este tipo de derivadas aquí:

Ver: ejercicios resueltos de la derivada de una potencia

Derivada de una raíz

La derivada de una raíz, o función irracional, es igual a uno partido por el producto del índice de la raíz por la misma raíz restándole 1 al exponente del radicando.

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=1.5mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      f(x)=sqrt[n]{x}quadcolor{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=cfrac{1}{nsqrt[n]{x^{n-1}}} end{empheq}

A modo de ejemplo, seguidamente puedes ver resuelta la derivada de la raíz cuadrada de x:

f(x)=sqrt{x}quadcolor{orange}bm{longrightarrow}color{black}quad f'(x)=cfrac{1}{2sqrt{x^{2-1}}}=cfrac{1}{2sqrt{x}}

Ver: ejercicios resueltos de la derivada de una raíz

Derivada de una función exponencial

La derivada de una función exponencial depende de si la base es el número e o cualquier otro número. De manera que hay dos fórmulas para derivar este tipo de funciones y deberemos utilizar la que corresponda según la base de la potencia:

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=1.8mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      begin{array}{l}f(x)=a^x quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=a^xcdot ln(a)\[3ex] f(x)=e^x quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^x end{array} end{empheq}

A continuación puedes ver dos derivadas resueltas de este tipo de funciones:

f(x)=7^{x} quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=7^xcdot ln(7)

f(x)=e^{x} quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=e^x

Ver: ejercicios resueltos de la derivada de una función exponencial

Derivada de una función logarítmica

La derivada de una función logarítmica depende de la base del logaritmo, ya que si el logaritmo es all-natural se debe aplicar una fórmula para hallar la derivada y si el logaritmo tiene como base otro número se debe usar otra regla.

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=1.8mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      begin{array}{l}f(x)=ln(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{1}{x}\[3ex] f(x)=log_a(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{1}{xcdotln(a)}end{array} end{empheq}

Por ejemplo, la derivada del logaritmo en base tres de x es:

f(x)=log_3(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{1}{xcdotln(3)}

Ver: ejercicios resueltos de la derivada de una función logarítmica

Derivadas trigonométricas

Las tres derivadas trigonométricas principales child la derivada de la función seno, de la función coseno y de la función tangente, cuyas fórmulas child las siguientes:

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=1.8mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      begin{array}{l}f(x)=text{sen}(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=text{cos}(x)\[2.5ex] f(x)=text{cos}(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=-text{sen}(x)\[1.1ex]f(x)=text{tan}(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=cfrac{1}{text{cos}^2(x)}end{array} end{empheq}

Lógicamente, existen más tipos de funciones trigonométricas, como por ejemplo la función secante, la cosecante, la cotangente, las funciones trigonométricas hiperbólicas, las funciones trigonométricas inversas, and so on. Pero las reglas más utilizadas para derivar child estas tres de arriba.

Reglas de derivación

Cuando tenemos operaciones trick funciones las derivadas se resuelven de manera diferente. Para ello, debemos emplear la reglas de derivación, que nos permiten derivar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de funciones.

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=2mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      begin{array}{l}z(x)=f(x)pm g(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} z'(x)=f'(x)pm g'(x)\[4ex] z(x)=f(x)cdot g(x) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} z'(x)=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)\[4ex]z(x)=cfrac{f(x)}{g(x)} quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} z'(x)=cfrac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{bigl(g(x)bigr)^2}end{array} end{empheq}

Por lo tanto, para resolver derivadas trick operaciones no solo tenemos que aplicar las reglas de derivación, sino que también debemos utilizar la fórmula de cada tipo de derivada.

Para que veas cómo hallar este tipo de derivadas, vamos a resolver varios ejercicios a continuación:

f(x)=3x^2+5x

f'(x)=6x+5

Como puedes ver, para resolver la derivada de toda la función se ha aplicado la fórmula de la derivada de una potencia a cada término de la suma.

f(x)=4^{x}cdot text{sen}(x)

La derivada del guide término del producto es 4x · ln( 4 ), y la derivada del seno es el coseno. Por lo tanto, la derivada de la multiplicación es:

f'(x)=4^{x}cdot ln (4) cdot text{sen}(x) +4^{x}cdot text{cos}(x)

f(x)=cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}

Tanto en el numerador como en el denominador de la fracción tenemos un polinomio, así que para sacar la derivada debemos utilizar la fórmula de la derivada de un cociente, la fórmula de la derivada de una suma (o resta) y la fórmula de la derivada de una potencia:

begin{aligned}f'(x)&=cfrac{(3x^2+8x)cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)cdot 10x}{left(5x^2-8right)^2}\[2ex]&=cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\[2ex]&=cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}end{aligned}

Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula que sirve para derivar funciones compuestas. La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta f( g( x)) es igual a la derivada f'( g( x)) multiplicada por la derivada g'( x) .

definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}  newtcbox{mymath}[1][]{%     nobeforeafter, math upper, tcbox raise base,     enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo,      boxrule=1pt, boxsep=1.5mm,     #1} begin{empheq}<div class='et-box et-shadow'>
 <div class='et-box-content'></div></div>}]{equation*}      z(x)=fbigl(g(x)bigr) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black}z'(x)=f'bigl(g(x)bigr)cdot g'(x) end{empheq}

Este concepto de las derivadas normalmente es más difícil de asimilar, por lo que resolveremos un ejercicio paso a paso a modo de ejemplo:

f(x)=text{sen}(x^3)

Efectivamente, se trata de una composición de funciones porque tenemos la función x3 dentro de la función seno, por lo tanto, tenemos que usar la regla de la cadena para hallar la derivada de la función compuesta.

Por una parte, la derivada del seno es el coseno, por lo que la derivada de la función de afuera será el coseno disadvantage el mismo argumento del seno:

fbigl(g(x)bigr)=text{sen}(x^3) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'bigl(g(x)bigr)=text{cos}(x^3)

Y, por otra parte, calculamos la derivada de x3 usando la fórmula de la derivada de una potencia:

g(x)=x^3quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} g'(x)=3x^2

De manera que la derivada de toda la función compuesta es el producto de ambas derivadas:

f(x)=text{sen}(x^3) quadcolor{orange}bm{longrightarrow}quadcolor{black} f'(x)=text{cos}(x^3)cdot 3x^2

Ver: ejercicios resueltos de derivadas con la regla de la cadena

Derivabilidad de una función

La continuidad y la derivabilidad de una función en un punto se relacionan de la siguiente manera:

  • Si una función es derivable en un punto, la función es continua en ese punto.
  • Si una función no es continua en un punto, tampoco es derivable en ese punto.

Transgression stoppage, el recíproco de este teorema es falso, es decir, que una función sea continua en un punto no significa que siempre sea derivable en ese punto.

También se puede ver si una función es derivable o no en un punto a partir de su representación gráfica:

  • Si es un punto refined la función es derivable en ese punto.
  • Si es un punto anguloso la función es continua pero no derivable en ese punto.

Punto suave en x= 0:
función continua y derivable en ese punto.

Punto anguloso en x= 2:
función continua pero no derivable en ese punto.

También se puede saber si una función definida a trozos es derivable en un punto calculando las derivadas laterales en ese punto:

  • Si las derivadas laterales en un punto no child iguales, la función no es derivable en ese punto:

f'(x_o^-) neq f'(x_o^+)  longrightarrow No es derivable en x_o

  • Si las derivadas laterales en un punto coinciden, la función es derivable en ese punto:

f'(x_o^-) = f'(x_o^+)  longrightarrow Sí es derivable en x_o

Veamos ahora un ejemplo de cómo calcular la derivada de una función definida a trozos en un punto:

  • Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función definida a trozos en el punto x= 2:

displaystyle f(x)=  left{ begin{array}{lcl} 3x^2-6x & text{si} &  x<2 \[2ex] 6ln (x-1) & text{si} & xgeq 2 end{array} right.

Las funciones de los dos tramos child continuas en sus respectivos intervalos, wrong stoppage, debemos mirar si la función es continua en el punto crítico x= 2. Para ello, resolvemos los límites laterales de la función en el punto:

limlimits_{xto 2^-} f(x) = limlimits_{xto 2^-} bigl(3x^2-6xbigr) = 3cdot2^2-6cdot2=12-12=bm{0}

limlimits_{xto 2^+} f(x) = limlimits_{xto 2^+} 6ln (x-1) = 6ln (2-1)=6 ln 1=6 cdot 0= bm{0}

Los límites laterales en el punto crítico nos han dado el mismo resultado, por tanto, la función es continua en el punto x= 2.

Una vez sabemos que la función es continua en x= 2, vamos a estudiar la derivabilidad de la función en ese punto. Para ello, calculamos las derivadas laterales de la función definida a trozos:

displaystyle f'(x)= left{ begin{array}{lcl} 6x-6 & text{si} &  x<2 \[2ex] cfrac{6}{x-1} & text{si} & xgeq 2 end{array} right.

Ahora evaluamos cada derivada lateral en el punto crítico:

f'(2^-)=6cdot2-6=12-6 = bm{6}

f'(2^+)=cfrac{6}{2-1} = cfrac{6}{1} = bm{6}

Las dos derivadas laterales nos han dado el mismo resultado, por tanto, la función es derivable en x= 2 y el valiance de la derivada es 6:

f'(2^-) = f'(2^+) = 6  longrightarrow  bm{f'(2) = 6}

Por otro lado, si las derivadas laterales nos hubiesen dado un resultado diferente, significaría que la función no es derivable en x= 2. Es decir, que la derivada en este punto no existiría.

Ver: ejercicios resueltos de la derivabilidad de una función



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