En este blog post se explica qué es una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) y cómo se resuelve. Así pues, encontrarás la fórmula basic de las ecuaciones de segundo grado y, además, ejercicios resueltos paso a paso para practicar.

¿ Qué kid las ecuaciones de segundo grado?

Las ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas, kid ecuaciones en las que la incógnita (normalmente x) está elevada a la 2. Por lo tanto, las ecuaciones de segundo grado kid de la forma ax2+ bx+ c= 0.

Para resolver una ecuación de segundo grado se debe utilizar la fórmula general. Además, las ecuaciones de segundo grado tienen como máximo dos soluciones.

Fórmula basic de las ecuaciones de segundo grado

La fórmula basic de las ecuaciones de segundo grado es la siguiente:

formula general de las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadraticas

De modo que la fórmula basic sirve para resolver cualquier tipo de ecuación de segundo grado. Para utilizar la fórmula simplemente tienes que identificar cada término de la ecuación de segundo grado y sustituirlo donde corresponda en la fórmula basic.

Ejemplo de una ecuación de segundo grado resuelta

Para que veas cómo se hacen las ecuaciones de segundo grado, a continuación tienes resuelta paso a paso una ecuación de este tipo a modo de ejemplo.

x^2+2x-3=0

Para resolver una ecuación de segundo grado, debemos usar la fórmula basic que hemos visto más arriba:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es identificar los parámetros a, b y c de la ecuación de segundo grado. El parámetro a es el coeficiente del término de segundo grado, que en este caso es 1, el parámetro b es el número que acompaña la x, que es 2, y el parámetro c es el término transgression incógnita, que es -3.

begin{array}{c}x^2+2x-3=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=1\[2ex]b=2\[2ex]c=-3end{array}

Fíjate que debes tomar los números junto disadvantage sus signos para aplicar correctamente la fórmula basic.

Una vez hemos identificado los parámetros de la ecuación cuadrática, empleamos la fórmula general. Así pues, sustituimos cada parámetro por su valiance en la fórmula:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}color{orange}  bm{longrightarrow}color{black}   x=frac{-2pm sqrt{ 2^2-4cdot 1 cdot (-3)}}{2cdot 1}

Ahora hacemos los cálculos:

displaystyle x=frac{-2pm sqrt{4+12}}{2}

displaystyle x=frac{-2pm sqrt{16}}{2}

Si te fijas en la fórmula, delante de la raíz hay el signo más junto disadvantage el signo menos, eso es debido a que las raíces cuadradas pueden tener dos soluciones: una positiva y otra negativa. En consecuencia, tenemos que hacer el cálculo por cada posible solución de la raíz:

displaystyle x=frac{-2pm 4}{2}=begin{cases}displaystylefrac{-2+4}{2}=frac{2}{2}=1\[4ex]displaystylefrac{-2-4}{2}=frac{-6}{2}=-3end{cases}

En conclusión, las dos soluciones de la ecuación de segundo grado kid:

bm{x=1}qquadbm{x=-3}

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa:

x^2-3x+2=0

Se trata de una ecuación de segundo grado, por lo que tenemos que usar la fórmula basic para resolverla:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

Así pues, identificamos el valiance de cada parámetro:

begin{array}{c}x^2-3x+2=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=1\[2ex]b=-3\[2ex]c=2end{array}

Ahora sustituimos el valiance de cada parámetro en la fórmula basic:

displaystyle x=frac{-(-3)pm sqrt{(-3)^2-4cdot 1 cdot 2}}{2cdot 1}

Y hacemos los cálculos para hallar las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:

begin{array}{l}displaystyle x=frac{3pm sqrt{9-8}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{3pm sqrt{1}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{3pm 1}{2}=begin{cases}displaystylefrac{3+1}{2}=frac{4}{2}=2\[4ex]displaystylefrac{3-1}{2}=frac{2}{2}=1end{cases}end{array}

Ejercicio 2

Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado:

x^2+6x+8=0

Para determinar las soluciones de la ecuación de segundo grado, tenemos que aplicar la fórmula basic de este tipo de ecuaciones:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

De modo que primero debemos averiguar el valiance de cada parámetro de la fórmula:

begin{array}{c}x^2+6x+8=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=1\[2ex]b=6\[2ex]c=8end{array}

Luego sustituimos el valiance de cada parámetro en la fórmula de las ecuaciones de segundo grado:

displaystyle x=frac{-6pm sqrt{6^2-4cdot 1 cdot 8}}{2cdot 1}

Por último, calculamos las operaciones resultantes para obtener las dos soluciones de la ecuación cuadrática:

begin{array}{l}displaystyle x=frac{-6pm sqrt{36-32}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{-6pm sqrt{4}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{-6pm 2}{2}=begin{cases}displaystylefrac{-6+2}{2}=frac{-4}{2}=-2\[4ex]displaystylefrac{-6-2}{2}=frac{-8}{2}=-4end{cases}end{array}

Ejercicio 3

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática completa:

2x^2+5x+6=0

La fórmula basic para resolver ecuaciones cuadráticas completas es la siguiente:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

Así pues, el parámetro a es el coeficiente del término cuadrático, el parámetro b es el coeficiente del término lineal y el parámetro c es el término independiente de la ecuación:

begin{array}{c}2x^2+5x+6=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=2\[2ex]b=5\[2ex]c=6end{array}

Sustituimos el valiance de cada parámetro en la fórmula basic:

displaystyle x=frac{-5pm sqrt{5^2-4cdot 2 cdot 6}}{2cdot 2}

Hacemos los cálculos:

begin{array}{l}displaystyle x=frac{-5pm sqrt{25-48}}{4}\[3ex]displaystyle x=frac{-5pm sqrt{-24}color{red}bm{times}color{black}}{4}  end{array}

Wrong stoppage, las raíces cuadradas de números negativos no tienen ninguna solución real, por lo tanto, la ecuación de segundo grado tampoco tiene ninguna solución actual.

Ejercicio 4

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática:

displaystyle 10x^2+3x-1=0

La fórmula basic de las ecuaciones cuadráticas es la siguiente:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

Así pues, identificamos cuánto vale cada parámetro de la fórmula:

begin{array}{c}10x^2+3x-1=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=10\[2ex]b=3\[2ex]c=-1end{array}

Sustituimos el valiance de cada parámetro en la fórmula:

displaystyle x=frac{-3pm sqrt{3^2-4cdot 10 cdot (-1)}}{2cdot 10}

Por último, hacemos los cálculos para encontrar las dos soluciones de la ecuación cuadrática:

begin{array}{l}displaystyle x=frac{-3pm sqrt{9+40}}{20}\[3ex]displaystyle x=frac{-3pm sqrt{49}}{20}\[3ex]displaystyle x=frac{-3pm 7}{20}=begin{cases}displaystylefrac{-3+7}{20}=frac{4}{20}=frac{1}{5}\[4ex]displaystylefrac{-3-7}{20}=frac{-10}{20}=-frac{1}{2}end{cases}end{array}

Ejercicio 5

Halla las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado:

3x^2+2x-15+x=2x^2+4x-3

Antes de utilizar la fórmula basic, tenemos que simplificar los términos. Así que pasamos todos los términos al mismo miembro de la ecuación:

3x^2-2x^2+2x+x-4x-15+3=0

Y ahora sumamos los términos que tienen el mismo grado:

x^2-x-12=0

De este forma, una vez ya tenemos la ecuación simplificada, ya podemos emplear la fórmula basic:

displaystyle x=frac{-bpm sqrt{ b^2-4cdot a cdot c}}{2cdot a}

El valiance de cada parámetro de la fórmula es el siguiente:

begin{array}{c}x^2-x-12=0\[3ex]ax^2+bx+c=0end{array} color{orange} bm{longrightarrow}color{black}begin{array}{c}a=1\[2ex]b=-1\[2ex]c=-12end{array}

Sustituimos el valiance de cada parámetro en la fórmula:

displaystyle x=frac{-(-1)pm sqrt{(-1)^2-4cdot 1 cdot (-12)}}{2cdot 1}

Y, finalmente, calculamos las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:

begin{array}{l}displaystyle x=frac{1pm sqrt{1+48}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{1pm sqrt{49}}{2}\[3ex]displaystyle x=frac{1pm 7}{2}=begin{cases}displaystylefrac{1+7}{2}=frac{8}{2}=4\[4ex]displaystylefrac{1-7}{2}=frac{-6}{2}=-3end{cases}end{array}

Puedes practicar disadvantage ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado más difíciles en los siguientes enlaces:

Ver: ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Ver: ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con fracciones

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Ahora que ya has visto cómo calcular las soluciones de una ecuación de segundo grado, debes saber que se puede saber el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado transgression necesidad de calcularlas.

Calculando el discriminante de una ecuación de segundo grado se puede determinar cuántas soluciones tiene. Así pues, la fórmula del discriminante es la siguiente.

numero de soluciones que tiene una ecuacion de segundo grado

El signo del discriminante (Δ= b2-4ac) determina el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

  • Si el discriminante es positivo ( Δ>> 0), la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones diferentes.
  • Si el discriminante es nulo ( Δ= 0), la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones iguales.
  • Si el discriminante es negativo ( Δ<< 0), la ecuación de segundo grado no tiene ninguna solución actual.

Para acabar de entender este concepto matemático, vamos a hallar el número de soluciones (o raíces) de la siguiente ecuación cuadrática:

x^2+5x+4 = 0

Para averiguar el número de soluciones de la ecuación de grado 2 tenemos que calcular el discriminante, cuya fórmula es:

Delta = b^2-4ac

De manera que para hallar el discriminante simplemente debemos sustituir las variables de la fórmula por sus valores correspondientes: a es el coeficiente del término cuadrático que en este caso es 1, b es el término que acompaña al término de guide grado que es 5, y c es el término independiente, esto es, 4.

begin{aligned} Delta & = 5^2-4cdot 1cdot 4 \[1.5ex] & = 25 -16 \[1.5ex] & = 9 color{orange} end{aligned}

El discriminante de la ecuación de segundo grado es positivo, por lo tanto, la ecuación posee 2 soluciones distintas.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

A lo largo del artículo se ha explicado cómo resolver las ecuaciones de segundo grado completas. Wrong stoppage, debes saber que también existen las ecuaciones de segundo grado incompletas, lo que significa que les falta algún término:

  • Ecuaciones de segundo grado incompleta disadvantage ausencia de b, es decir, transgression término lineal:

    ax^2+c=0

  • Ecuaciones de segundo grado incompleta disadvantage ausencia de c, esto es, transgression término independiente:

    ax^2+bx=0

  • Ecuaciones de segundo grado incompleta disadvantage ausencia de b y de c:

    ax^2=0

Así pues, cada tipo de ecuación de segundo grado incompleta se resuelve de una manera diferente. Haz clic en el siguiente enlace para ver la explicación de cada método y practicar disadvantage ejercicios resueltos de cada tipo de ecuación cuadrática incompleta:

Ver: ecuaciones de segundo grado incompletas



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